Question

100 баллов

геометрическая прогрессии
с формулами пж:)​

Answer 1

Формула n-ого члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$

Сумма первых n членов геометрической прогрессии: $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

5.

Составим и решим систему:

$\left\{\begin{array}{l} b_4-b_2=24 \\ b_2+b_3=6 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} b_1q^3-b_1q=24 \\ b_1q+b_1q^2=6 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} b_1q(q^2-1)=24 \\ b_1q(1+q)=6 \end{array}$

Выразим выражение $b_1q$ из первого уравнения и подставим его во второе:

$\left\{\begin{array}{l} b_1q=\dfrac{24}{q^2-1} \\ \dfrac{24}{q^2-1}\cdot (1+q)=6 \end{array}$

$\dfrac{4(1+q)}{q^2-1}=1$

$4(1+q)=q^2-1\\4+4q=q^2-1\\q^2-4q-5=0\\D_1=(-2)^2-1\cdot(-5)=9\\q_1=2+3=5\\q_2=2-3=-1$

Заметим, что второй вариант с $q=-1$ нереализуем, так как в этом случае получилась бы прогрессия с чередующимися противоположными числами, но по условию сумма соседних членов (с номерами 2 и 3) равна 6. Очевидно, что такие числа не являются противоположными.

Найдем выражение для первого члена:

$b_1q(1+q)=6\\\Rightarrow b_1=\dfrac{6}{q(1+q)}$

Зная знаменатель, находим первый член прогрессии:

$b_1=\dfrac{6}{5\cdot(1+5)}=\dfrac{1}{5}$

Тогда четвертый член прогрессии равен:

$b_4=b_1q^3=\dfrac{1}{5} \cdot5^3=25$

Ответ: 25

6.

Запишем выражение для заданной суммы

$S_3=\dfrac{b_1(q^3-1)}{q-1} =39$

Подставим значение первого члена:

$\dfrac{27(q^3-1)}{q-1} =39$

$\dfrac{27(q-1)(q^2+q+1)}{q-1} =39$

$27(q^2+q+1)=39$

$27q^2+27q+27=39$

$27q^2+27q-12=0\\D=27^2-4\cdot27\cdot(-12)=2025\\q_1=\dfrac{-27-45}{2\cdot27} =-\dfrac{72}{54} =-\dfrac{4}{3}\\q_2=\dfrac{-27+45}{2\cdot27} =\dfrac{18}{54} =\dfrac{1}{3}$

Ответ: -4/3 или 1/3