Question

Вычислить предел.......

Answer 1

Применяем 2 замечательный предел и замену бесконечно малых эквивалентными.

$\lim\limits _{x \to 0}\Big (2-e^{x^2}\Big )^{\frac{1}{ln(1+tg^2(\pi x/3))}}=\lim\limits _{x \to 0}\Big (1+(\underbrace {1-e^{x^2}}_{\to \, 0})\Big )^{\frac{1}{1-e^{x^2}}\cdot \frac{1-e^{x^2}}{ln(1+tg^2(\pi x/3))}}=$

$=\lim\limits _{x \to 0}e^{\frac{-(e^{x^2}-1)}{tg^2(\pi x/3)}}=\lim\limits _{x \to 0}e^{\frac{-x^2}{\pi ^2x^2/9}}=e^{\lim\limits _{x \to 0}\frac{-9}{\pi ^2}}=e^{-\frac{9}{\pi ^2}}\\\\\\\star \; \; (e^{x^2}-1)\sim x^2\; ,\; x\to 0\\\\\star \; \; tg\frac{\pi x}{3}\sim \frac{\pi x}{3}\; ,\; x\to 0$