Question

Доказать, что ∀x ∈ N найдётся прямоугольный треугольник с целочисленными. сторонами, синус одного из углов которого равен $sin(2arctgx)$.

Answer 1

$\sin(2\arctan x)=2\sin(\arctan x)\cos(\arctan x)$. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами

$1,\;x,\; \sqrt{1+x^{2}}$ (последняя - гипотенуза). Из него видно, что $\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$, а $\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. Тогда исходный синус перепишется в виде $\sin(2\arctan x)=\frac{2x}{1+x^2}$.

Рассмотрим треугольник с гипотенузой $1+x^{2}$ и катетом $2x$. Тогда оставшийся катет можно вычислить по теореме Пифагора:  $\sqrt{(1+x^{2})^{2}-(2x)^{2}}=\sqrt{(x^{2}-2x+1)(x^{2}+2x+1)}=|1-x^{2}|$. Пусть $x$ рационально и $x\in(0,1)$. Тогда у треугольника рациональные стороны и синус одного из его углов удовлетворяет требованиям. Теперь достаточно увеличить его стороны в наименьшее общее кратное всех трех знаменателей раз. И требуемый треугольник готов