Question

Решите систему уравнений! Срочно!!!
${x}^{2} + 1 = y(3x - y) \\ 3( {x}^{2} + {y}^{2} ) = 13 + xy$
​

Answer 1

ответ:

(1;2) (2;1) (-1;-2) (-2;-1)

Объяснение:

преобразуем первое уравнение

${x}^{2} + 1 = 3xy - {y}^{2} \\ ( {x}^{2} + {y}^{2} ) + 1 = 3xy$

сделаем замену

${x}^{2} + {y}^{2} = k \\ xy = m$

получаем систему

$k + 1 = 3m \\ 3k = 13 + m$

домножим первое уравнение на 3 и вычтем из второго:

$3 = 9m - 13 - m \\ 8m = 16 \\ m = 2 \\ k = 3 \times 2 - 1 = 5$

получаем систему:

${x}^{2} + {y}^{2} = 5 \\ xy = 2$

или домножив второе уравнение на 2 и сложив с первым:

${x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 9 \\ {(x + y)}^{2} = 9 \\ |x + y| = 3$

получим две системы где x+y=3 (1) и x+y=-3 (2)

(1)

$y = \frac{2}{x} \\ x + \frac{2}{x} = 3 \\ {x}^{2} - 3x + 2 = 0 \\ d = 9 - 4 \times 2 = 1 \\ x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \\ y_{1} = 1 \\ y_{2} =2$

(2)

$y = \frac{2}{x} \\ x + \frac{2}{x} = - 3 \\ {x}^{2} + 3x + 2 = 0 \\ d = 9 - 4 \times 2 = 1 \\ x_{3} = \frac{ - 3 + 1}{2} = - 1 \\ x_{4} = \frac{ - 3 - 1}{2} = - 2 \\ y_{3} = - 2 \\ y_{2} = - 1$