Question

решите неравенство ​

Answer 1

$\Big(x^2-1\Big)^{x+3}<\Big(x^2-1\Big)^{2x-4}$

Так как обе части неравенства - это степени с одинаковым основанием, то решение неравенства зависит от значения основания степени.

1)  Если   a > 1    и    aᵇ < aⁿ,  то   b < n;    b,n∈R

$x^2-1>1;~~~x^2>2\\|x|>\sqrt2~~\Rightarrow~~\boldsymbol{x\in(-\infty;-\sqrt2) \cup (\sqrt2;+\infty)}\\\\\Big(x^2-1\Big)^{x+3}<\Big(x^2-1\Big)^{2x-4}\\\\x+3<2x-4;~~\Rightarrow~~ x>7;~~\Rightarrow~~~ \boxed{\boldsymbol{x\in(7;+\infty)}}$

2)  Если   a = 1 , то   aᵇ = 1 ;    b∈R

$x^2-1=1;~~x^2=2;~~x=\pm\sqrt2\\1^{x+3}<1^{2x-4}~~\Rightarrow~~1<1$

Получилось неверное неравенство, значит, $x\neq \pm\sqrt2$

3)  Если   0 < a < 1    и    aᵇ < aⁿ,  то   b > n;    b,n∈R

$0<x^2-1<1;~~~1<x^2<2\\1<|x|<\sqrt2~~\Rightarrow~~\boldsymbol{x\in(-\sqrt2;-1) \cup (1;\sqrt2)}\\\\\Big(x^2-1\Big)^{x+3}<\Big(x^2-1\Big)^{2x-4}\\\\x+3>2x-4;~~\Rightarrow~~ x<7;~~\Rightarrow~ \boxed{\boldsymbol{x\in(-\sqrt2;-1) \cup (1;\sqrt2)}}$

4)  Если   a = 0 , то   aᵇ = 0 ;    b∈R\{0}

$x^2-1=0;~~x^2=1;~~x=\pm1\\0^{1+3}<1^{2\cdot0-4} ~~\Rightarrow~~0<0$

Получилось неверное неравенство, значит, $x\neq \pm1$

5) Если   a < 0, то возводить отрицательное число можно только в целую степень, то есть   aᵇ  имеет смысл при   b∈Z.

Показатель степени  (x+3) будет целым при любом целом значении x.

$x^2-1<0;~~~x^2<1\\|x|<1~~\Rightarrow~~ \boldsymbol{x\in(-1;1)}$

В этом интервале есть только одно целое число  x=0. Проверка :

$\Big(x^2-1\Big)^{x+3}<\Big(x^2-1\Big)^{2x-4}\\\\\Big(0^2-1\Big)^{0+3}<\Big(0^2-1\Big)^{2\cdot 0-4}\\\\ \big(-1\big)^3<\big(-1\big)^{-4}\\\\ -1<\dfrac1{\big(-1\big)^4} ~~\Rightarrow~~-1<1~~\Rightarrow~\boxed{\boldsymbol{x=0}}$

Объединив все полученные решения, получим

$\boldsymbol{x\in(-\sqrt2;-1) \cup\{0\}\cup (1;\sqrt2)\cup(7;+\infty)}$