Question

Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1)y(штрих)+2xy=2x$y^{3}$
2)(1+$x^{2}$)у(2 штриха)-2xy(штрих)=0,y(0)=0,y(штрих)(0)=3.

Answer 1

1) - уравнение с разделяющимися переменными. 2)- ДУ 2 порядка, допускающее понижение порядка.

$1)\; \; y'+2xy=2xy^3\\\\y'=2x\cdot (y^3-y)\; \; \qquad \Big [\; y'=f(x)\cdot g(y)\; \Big ]\\\\\frac{dy}{dx}=2x\cdot (y^3-y)\\\\\int \frac{dy}{y\, (y-1)(y+1)}=\int 2x\, dx\\\\\star \; \; \int \frac{dy}{y\, (y-1)(y+1)}=-\int \frac{dy}{y}+\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y+1}=\\\\=-ln|y|+\frac{1}{2}\, ln|y-1|-\frac{1}{2}\; ln|y+1|+C=C+ln|\frac{1}{y}|+\frac{1}{2}\, ln\Big |\frac{y-1}{y+1}\Big |=\\\\=C+ln\Big |\frac{1}{y}\Big |+ln\sqrt{\frac{y-1}{y+1}}\; \; \star$

$ln\Big |\frac{1}{y}\Big |+ln\sqrt{\frac{y-1}{y+1}}=x^2+C_1$

$2)\; \; (1+x^2)\, y''-2xy'=0\; \; ,\; \; y(0)=0\; ,\; y'(0)=3\\\\y''-\frac{2x}{1+x^2}\cdot y'=0\\\\y'=p(x)\; ,\; \; y''=p''(x)\; \; ,\; \; p'-\frac{2x}{1+x^2}\cdot p=0\; ,\; \; p'=\frac{2x}{1+x^2}\cdot p\; ,\\\\\frac{dp}{dx}=\frac{2x}{1+x^2} \; \; ,\; \; \int dp=\int \frac{2x\, dx}{1+x^2}\; ,\\\\p=ln|1+x^2|+C_1\; \; ,\; \; y'=ln(1+x^2)+C_1\; ,\; \; \frac{dy}{dx}=ln(1+x^2)+C_1\\\\\int dy=\int ln(1+x^2)\, dx+\int C_1\, dx\\\\y=C_1x+\int ln(1+x^2)\, dx$

$\star \; \int ln(1+x^2)\, dx=\Big [\; u=ln(1+x^2)\; ,\; du=\frac{2x\, dx}{1+x^2}\; ,\; dv=dx\; ,\; v=x\; \Big ]=\\\\=x\cdot ln(1+x^2)-2\int \frac{x^2\, dx}{1+x^2}=x\cdot ln(1+x^2)-2\int (1-\frac{1}{1+x^2})\, dx=\\\\=x\cdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx+C\; \; \star \\\\y=C_1x+x\cdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx+C_2\\\\y(0)=0:\; \; 0=C_2\\y'(0)=3:\; \; 3=ln1+C_1\; \; ,\; \; C_1=3\\\\y_{chastn.resh.}=3x+x\cdot ln(1+x^2)-2x+2arctgx$