Question

помагите пожалоста xydy=(x^2-y^2)dx​

Answer 1

Разделим обе части уравнения на dx и взяв факт того, что dy/dx=y', мы получаем: xyy' = x² - y²

Это дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u

ux² · (u'x + u) = x² - u²x²

х = 0 является корнем уравнения. Разделим теперь на x² последнее уравнение.

u(u'x + u) = 1 - u²

u'ux + u² = 1 - u²

u'ux = 1 - 2u²

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int\dfrac{udu}{1-2u^2}=\int\dfrac{dx}{x}~~~~\Leftrightarrow~~~-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{d(1-2u^2)}{1-2u^2}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ -\dfrac{1}{4}\ln\Big|1-2u^2\Big|=\ln\Big|x\Big|+\ln C\\ \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt[4]{1-2u^2}}=Cx$

Теперь выполним обратную замену.

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt[4]{1-2(\frac{y}{x})^2}}=Cx$ — общий интеграл.