Question

В прямоугольном треугольнике длины сторон являются целыми числами. Какой максимально возможный периметр может иметь этот треугольник, если одна из его сторон равна 18?

Answer 1

Ответ:

180

Пошаговое объяснение:

Треугольник является прямоугольным, значит, у него два катета a и b, гипотенуза c. По условию одна из сторон 18 (единицу можно выбрать произвольное). Эта сторона будет катетом, в противном случае, если эта сторона гипотенуза c, то из-за ограничения для катетов a<c и b<c максимально возможный периметр также ограничивается. Поэтому наименьший катет, пусть этот катет будет a, выберем как a=18.

Так как треугольник прямоугольный, то верна теорема Пифагора

c² = a² + b² или c² -  b²= 18² или (c - b)·(c + b)= 324.

С другой стороны, из условия существования треугольника (другое название - неравенство треугольника) получаем

a + c > b

b + c > a

a + b > c

Из последнего неравенства вытекает, что 18 > c - b.

Теперь рассмотрим (c - b)·(c + b)= 324. Из того, что длины сторон треугольника являются целыми числами (вообще то натуральными числами), то (c - b) и (c + b) также являются натуральными числами.

Обозначим c - b = х. Отсюда c = x + b. Тогда

c+b = 324/x

x+b+b = 324/x

2·b = 324/x - x

b = 162/x - x/2

Отсюда следует, что х - чётное и является делителем 162.

Учитывая 18 > c - b и то, что чем меньше c - b, тем больше периметр, рассмотрим разложение числа 324 на чётные множители: 324=2·162.

Тогда c - b = 2 и c + b = 162. Отсюда c = 82 и b = 80. Ясно, что неравенство треугольника выполняется, оба числа целые.

Проверим утверждение теоремы Пифагора:

18²+80²=324+6400=6724=82².

Значит, все условия выполняются. Тогда максимально возможный периметр равен сумме длин сторон треугольника

P = a + b + c = 18  + 80 + 82 = 180

Answer 2

Пусть x и y - длины катетов, z - длина гипотенузы.

По теореме Пифагора $x^2+y^2=z^2$

Тройка сторон прямоугольного треугольника (x, y, z), где x нечётное, может быть представлена в виде $\left(m^2-n^2;\;2mn;\;m^2+n^2\right)$.

Но эта тройка будет примитивной, т.е. состоять из взаимно простых чисел, а число $\left(m^2-n^2\right)$ должно быть нечётным. Нужно найти такие нечётные числа $\left(m^2-n^2\right)$, которые являются делителями числа 18.

Таких чисел всего два - 3 и 9.

Варианты с египетским треугольником понятны: (3, 4, 5) и производные - (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25); (18, 24, 30) и т.д. (умножаем числа тройки на одно и то же число). В случае (18, 24, 30) периметр треугольника будет равен 72.

Но не так сложно найти такие m и n, что $m^2-n^2 = 9$. Очевидно, что m = 5, n = 4. Отсюда находим примитивную тройку (9, 40, 41).

В нашем случае тройка должна начинаться числом 18 (т.к. периметр должен быть максимальным, то есть известная сторона - это наименьший катет), значит все числа тройки умножаем на 2 и получаем (18, 80, 82).

Периметр такого треугольника равен 18+80+82 = 180.