Question

Решите показательное неравенство с логарифмом.
$\displaystyle 5^{\log_x2}\cdot \log_2x+5^{\log_2x}\cdot \log_x2\le 10$

Answer 1

$5^{\log_x2}\cdot \log_2x+5^{\log_2x}\cdot \log_x2-10\leq0$

Рассмотрим функцию: $f(x)=5^{\log_x2}\cdot \log_2x+5^{\log_2x}\cdot \log_x2-10$

Область определения функции: D(f)=$\displaystyle \left \{ {{x\ne1} \atop {x>0}} \right.$

Если 0 < x < 1, то выражение, стоящее слева, будет всегда отрицательным, выполнено.

Если x > 1, то $5^{\log_x2}\cdot \log_2x>0$ и $5^{\log_2x}\cdot \log_x2>0$ применимо неравенство Коши (или неравенство о среднем): $2\sqrt{5^{\log_x2}\cdot \log_2x\cdot 5^{\log_2x}\cdot \log_x2}\leq 5^{\log_x2}\cdot \log_2x+5^{\log_2x}\cdot \log_x2$

При этом равенство достигается при $\log_2x=\log_x2$ откуда

$\log_2^2x=1\\ \\ \log_2x=1\\ \\ x=2$

Объединяя решения, получим x ∈ (0;1) ∪ {2}.