Предмет: Математика, автор: lantuhsasha

Помогите буду очень благодарен

Приложения:

Ответы

Автор ответа: dnepr1

1.1) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум другим векторам имеет вид в координатной форме:

| (x - x1) (y - y1) (z - z1)|

|xa ya za|

|xb yb zb| = 0.

Подставим данные:

| (x - 2) (y - 0) (z - 3)|

|1 0 1|

|2 1 3| = 0.

Получаем -x - y + z - 1 = 0.

1.2) Векторное произведение вектора KL и заданного вектора s будет нормальным вектором искомой плоскости.

Вектор KL(1; -3; 0).

KL x s =

i j k | i j

1 -3 0 | 1 -3

1 2 2 | 1 2 = -6i + 0j + 2k - 2j -0i + 3k =

= -6i -2j + 5k. Вектор (-6; -2; 5).

Теперь можно перейти к уравнению плоскости, используя координаты точки К.

-6(x- 1) - 2(y - 2) + 5(z - 3) = -6x - 2y + 5z - 5 = 0.

1.3) Уравнение плоскости через 3 точки в координатной форме:

| (x - x1) (y - y1) (z - z1)|

| (x2 - x1) (y2 - y1) (z2 - z1)|

| (x3 - x1) (y3 - y1) (z3 - z1)| = 0.

Подставим данные:

| (x - 3) (y - 1) (z - 0)|

| (0 - 3) (1 - 1) (2 - 0)|

| -1 - 3) (0 - 1) (5 - 0)| = 0.

Получаем 2x + 7y + 3z - 13 = 0.

1.4) Заданный вектор и есть нормальный вектор искомой площади (ведь он перпендикулярен ей).

1*(x - 2) + 2*(y - 3) - 4*(z + 1) = x + 2y - 4z - 12 = 0.

2) По аналогии с пунктом 1.3 находим уравнение плоскости АВС.

x - 1 y - 2 z + 1

1 -3 4

-5 5 6 = -38x - 26y - 10z + 80 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (-38; -26; -10).

Координаты точки М(1,5; 0,5; 1) - это точка пересечения медианы СМ и стороны АВ. Её координаты равны полусумме координат точек А и В.

Привяжем нормальный вектор плоскости АВС к точке М и получим уравнение прямой, лежащей в перпендикулярной плоскости к АВС.

(x - 1.5)/(-38) = (y - 0.5)/(-26) = (z - 1)/(-8).

Теперь можно найти уравнение плоскости, проходящей через медиану СМ перпендикулярно к плоскости АВС.

Уравнение прямой L проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(15/10, 05/10, 1) и имеет направляющий вектор q={m, p, l}={−38, −26, −10}.

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 7, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 (2)

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:

A(x−x1)+B(y−y1)+C(z−z1)=0 (3)

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

A·m+B·p+C·l=0

(4)

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)=0. (5)

Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (4) и (5):

A·(−38) +B· (−26)+C·(−10)=0 (6)

A·( (15/10) − (−4)) + B·(( 05/10 ) − 7) + C·( 1 - 5) = 0 (7)

Упростим уравнение (7):

A· 5(1/ 2) +B· −6(1 /2) +C· (−4) =0 (7')

Решим систему линейных уравнений (6) и (7') отностительно A, B, C. Представим эти уравнения в матричном виде: