Question

Исследуйте на монотонность функцию y=x-e^x

Answer 1

Ответ:

Для начала найдем производную функции

y'=(x^2)'*ln x+x^2*(ln x)'

y'=2x*ln x+x^2*(1/x)

y'=2x*ln x+x

Что бы найти экстремумы приравняем производную к нулю

2x*ln x+x=0

x(2*ln x+1)=0    

2*ln x+1=0    x=0 это первый корень

2*ln x=-1

ln x= -1/2

x= e^(-1/2)

x=1/√e

получаем два корня x=0 и x=1/√e

Начертим график и посчитаем интервалы монотонности

Так как у нас ln x то область определения y'  x>0 по этому за ее пределами мы знаки не считаем

Исходя из графика видно, что при x э (0;1/√e) функция убывает т.к. производная на данном интервале отрицательная, а на интервале (1/√e;+∞) функция возрастает т.к. производная на данном интервале положительная.

У нас имеется одна точка экстремума x=1/√e, и она является точкой минимума так как в ней производная меняет знак с - на +, то есть функция перестает убывать и начинает расти.

Подробнее - на Znanija.com - https://znanija.com/task/24738939#readmore

Пошаговое объяснение: