Question

Помогите пожалуйста !!!мне из-за этого могут зачёт не поставить

Нужно исследовать функцию и найти ее график

Answer 1

ДАНО: y = x/(5+x³) - функция

1. Область определения:

В знаменателе: х³+5 ≠0 . Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

х ≠∛5 ≈ 1,71

D(y)= R\{∛5}  X∈(-∞;-∛5)∪(-∛5;+∞).

2. Разрыв II-го рода при Х = -∛5 .

Вертикальная асимптота  - Х = -∛5.    

3. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Нуль функции: x = 0

4. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Yx)<0 - X∈(-∛5;0).

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-∛5)∪(0;+∞;)  

6. Проверка на чётность.

Функция общего вида: Y(-x) ≠ -Y(x) ,Y(-x) ≠ Y(x)    

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

Y'(x) = -3*x³/(5+x³)² + 1/(5+x³) = (5-2*x³)/(5+x³)² = 0

5 - 2*x³ = 0   x = ∛2.5 ≈ 1.357 - корень производной

8. Локальный экстремум.

Y(∛2.5) = ∛2.5 : 7.5 ≈  0.18  - максимум.

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает: Х∈(-∞;-∛5)∪(-∛5;∛2.5)

Убывает: X∈(∛2.5;+∞)

10. Поиск перегибов по второй производной.    

Y"(x) = 6*x²*(x³-10)/(5+x³)³ = 0.

Точка перегиба при Х 0  и  х = ∛10 ≈ 2,15      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-∛5)∪(∛10;+∞),

выпуклая - "горка" - X∈(-∛5;∛10);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. Наклонная асимптота:   У = 0.

14. График функции на рисунке в приложении.