Question

(3x+5y)dx-(x+y)dy=0
как решить это ДУ? пожалуйста, срочно)

Answer 1

Это диффер.ур-ие с однородными функциями. Надо выделить дробь у/х  или х/у.
$(3x+5y)dx-(x+y)dy=0\\frac{dy}{dx}=frac{3x+5y}{x+y}; ; |:frac{x}{x}\\frac{dy}{dx}=frac{3+5frac{y}{x}}{1+frac{y}{x}}\\frac{y}{x}=t,y=tx,frac{dy}{dx}=y`=t`x+t\\t`x+t=frac{3+5t}{1+t}\\t`x=frac{3+5t}{1+t}-t=frac{t^2+4t+3}{1+t}=frac{(t+1)(t+3)}{t+1}=t+3\\t`=frac{dt}{dx}=frac{t+3}{x}\\frac{dt}{t+3}=frac{dx}{x}$
$int frac{dt}{t+3}=int frac{dx}{x}\\ln|t+3|=ln|x|+ln|C|\\t+3=Cx\\frac{y}{x}+3=Cx\\y=x(Cx-3); -; ; obshee; reshenie$