Question

Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии соответственно равны 2k+6; 2k; k+2, где k - положительное число.
а) Найдите значение k
b) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Answer 1

Знаменатель (q) геометрической прогрессии равен частному одного члена геом. пр. и предыдущего:

$\displaystyle q=\bold{\frac{2k}{2k+6}=\frac{k+2}{2k}}$

Знаменатели всегда не равны нулю т.к. в противном случаи все члены прогрессии равны 0, но 2k+6≠2k

Домножим на знаменатели и решим уравнение.

$\displaystyle 4k^2=(k+2)(2k+6)=2k^2+10k+12\\2k^2-10k-12=0\\k^2-5k-6=0;D=25+24=7^2\\k=\frac{5\pm 7}2=\{-1;6\}$

k - положительно, поэтому k≠-1, k=6.

$\displaystyle q=\frac{2k}{2k+6}=\frac{12}{18}=\frac23$

Первый член 2k+6 = 18

$\displaystyle S_n=\frac{b_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac23}=18\cdot \frac31=54$

Ответ: a) 6; b) 54.