Question

Производные

1)Найти производную функции

$\sqrt{arctg(cos3x)$

2)Найти производную функции используя логарифмическое дифференцирование

$y=((x-3)^5*cosx)/e^(3x)$

3)Подвести под знак дифференциала и сделать проверку

$x*sinx^2dx$

Answer 1

$1)\; \; y=\sqrt{arctg(cos3x)}\\\\y'=\frac{1}{2\sqrt{arctg(cos3x)}}\cdot \frac{1}{1+cos^23x}\cdot (-sin3x)\cdot 3=-\frac{3\, sin3x}{2(1+cos^23x)\, \sqrt{arctg(cos3x)}}$

$2)\; \; y=\frac{(x-3)^5\cdot cosx}{e^{3x}}\\\\lny=ln\frac{(x-3)^5\cdot cosx}{e^{3x}}\\\\lny=5\, ln(x-3)+ln(cosx)-3x\cdot \underbrace {lne}_{1}\\\\\frac{y'}{y}=\frac{5}{x-3}+\frac{-sinx}{cosx}-3\\\\y'=\frac{(x-3)^5\cdot cosx}{e^{3x}}\cdot \Big (\frac{5}{x-3}-tgx-3\Big )$

$3)\; \; \int x\cdot sinx^2\, dx=\frac{1}{2}\int sinx^2\cdot 2x\, dx=\frac{1}{2}\int sinx^2\cdot d\, (x^2)=\\\\=\Big [\; \int sint\, dt=-cost+C\; \Big ]=\frac{1}{2}\cdot (-cosx^2)+C=-\frac{1}{2}\cdot cosx^2+C$