Question

Пожалуйста , помогите решить пределы !!!!
Буду очень благодарна !!!

Answer 1

Ответ: 1) 2/3; 2) 1; 3) 5/3; 4) 1/7; 5) -2/5.

Пошаговое объяснение:

1) Непосредственная подстановка значения x=3 в выражение, предел которого нужно найти, приводит к неопределённости вида 0/0.

Умножив числитель и знаменатель на √(4*x-3)+3, получим выражение (4*x-12)/(x²-9)=4*(x-3)/[(x+3)*(x-3)]=4/(x+3). Предел этого выражения при x⇒3, очевидно, равен 4/6=2/3. Ответ: 2/3.

2) Так как [(6*x-3)/(6*x-4)]⁻¹=(6*x-4)/(6*x-3), то нужно найти предел последнего выражения. Непосредственная подстановка значения x=∞ в это выражение приводит к неопределённости вида ∞/∞. Разделив числитель и знаменатель на x, получим выражение (6-4/x)/(6-3/x). Очевидно, что при x⇒∞ пределы числителя и знаменателя равны 6, поэтому искомый предел равен 6/6=1. Ответ: 1.

3) Непосредственная подстановка значения x=0 в выражение, предел которого нужно найти, приводит к неопределённости вида 0/0.  

Умножив и разделив это выражение на 3, получим выражение 5/3*cos(2*x)*3*x/sin(3*x). Предел выражения 5/3*cos(2*x) при x⇒0, очевидно, равен 5/3, а выражение 3*x/sin(3*x) можно записать в виде 1/[sin(3*x)/(3*x)]. Но предел выражения в скобках [ ] при x⇒0 есть ни что иное, как первый замечательный предел, равный 1. Поэтому предел второго множителя равен 1/1=1, и тогда предел всего выражение равен 5/3*1=5/3. Ответ: 5/3.

4) Непосредственная подстановка значения x=1 в выражение, предел которого нужно найти, приводит к неопределённости вида 0/0. Но так как x²-3*x+2=(x-1)*(x-2), а -3*x²-x+4=-3*(x+4/3)*(x-1), то числитель и знаменатель дроби можно сократить на общий множитель x-1. В результате получаем выражение (x-2)/[-3*(x+4/3)]=(x-2)/(-3*x-4)=(2-x)/(3*x+4). Предел этого выражения при x⇒1, очевидно, равен 1/7. Ответ: 1/7.

5) Непосредственная подстановка значения x=∞ в выражение. предел которого нужно найти, приводит к неопределённости вида (∞-∞)/(∞-∞). Разделив числитель и знаменатель на x², получаем выражение (-2+4/x+7/x²)/(5-3/x-1/x²). Предел числителя при x⇒∞ равен -2, а предел знаменателя равен 5, поэтому искомый предел равен -2/5. Ответ: -2/5.