Question

Вычислить пределы, два номера

Answer 1

В первом в знаменателе ${\rm arctg}^3x\sim x^3$ а в числителе будем каждую элементарную функцию разложить в ряд Тейлора

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(x+1)+\frac{x^2}{2}-\sin x}{{\rm arctg}^3x}=\lim_{x \to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)+\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Аналогично решаем и со вторым примером.

$\displaystyle ...=\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+o(x^4)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{3x^4}{8}+o(x^4)}{x^4}=\\ \\ =\lim_{x \to 0}\frac{\frac{5x^4}{24}-\frac{3x^4}{8}+o(x^4)}{x^4}=\frac{5}{24}-\frac{3}{8}=\frac{5-9}{24}=-\frac{4}{24}=-\frac{1}{6}$