Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y= x/3 – 12/x

______________________
Не могу разобраться с заданием. Кажется, вместо "-" должен быть "+", чтобы можно было найти стационарные точки(решала через производную)

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{x}{3}-\frac{12}{x}\; \; ,\; \; \; OOF:\; x\ne 0\\\\y'=\frac{1}{3}+\frac{12}{x^2}=0\; \; ,\; \; \frac{x^2+36}{3x^2}=0\; \; \Rightarrow \; \; \; \left \{ {{x^2+36=0\; ,\; nevozmozno} \atop {3x^2\ne 0\qquad \qquad \qquad }} \right. \\\\x^2+36>0\; \; pri\; \; x\in R\; \; \Rightarrow \; \; x^2+36\ne 0\\\\Esli\; \; x\ne 0\; ,\; to\; \; 3x^2>0\; \; \Rightarrow \; \; \frac{x^2+36}{3x^2}>0\; ,\; \; y'>0\; \; \Rightarrow \; \; y(x)\; vozrastaet$

Наименьшего и наибольшего значения функции на области определения найти невозможно, т.к. на всей обл. определения функция возрастает.

$2)\; \; y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}\; \; ,\; \; \; OOF:\; x\ne 0\\\\y'=\frac{1}{3}-\frac{12}{x^2}=0\; \; ,\; \; \frac{x^2-36}{3x^2}=0\; \; \Rightarrow \; \; \; \left \{ {{x^2-36=0\; ,} \atop {3x^2\ne 0\quad }} \right. \\\\x^2-36=0\; \; \; \Rightarrow \; \; x_1=-6\; ,\; x_2=6\\\\znaki\; y'(x):\; +++(-6)---(0)---(6)+++\\\\\; \; y'>0\; \; pri\; \; x\in (-\infty ,-6)\; \; i\; \; x\in (6,+\infty )\; \; \Rightarrow \; \; y(x)\; vozrastaet\\\\y'(x)<0\; \; pri\; x\in (-6,0)\; \; i\; \; x\in (0,6)\; \; \Rightarrow \; \; y(x)\; ybuvaet$

$x_{max}=-6\; ,\; \; y_{max}=y(-6)=\frac{-6}{3}+\frac{12}{-6}=-2-2=-4\\\\x_{min}=6\; ,\; \; y_{min}=y(6)=\frac{6}{3}+\frac{12}{6}=2+2=4$

Наибольшего и наименьшего значений на ООФ найти невозможно. Можно найти локальный минимум и локальный максимум функции. Либо надо было задавать промежуток,на котором надо найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Смотри график на рисунке.