Question

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

$sin \frac{\pi }{3}+ 2sin\frac{\pi}{9} + 3sin\frac{\pi}{27} +...$

Answer 1

Заметим, что ряд положительный. И правда, $a_n=nsin\dfrac{\pi}{3^n}\\ \dfrac{\pi}{3^n}<\dfrac{\pi}{3}\:\forall n\in N =>nsin(0)=0<a_n<nsin\dfrac{\pi}{3}$, причем, т.к. $\dfrac{\pi}{3}$ находится в первой четверти, $\dfrac{\pi}{3^n}$ убывает, $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi}{3^n} =0$ , то аргументы синуса во всех членах ряда находятся в первой четверти. Тогда $sin\dfrac{\pi}{3^n}>0=>nsin\dfrac{\pi}{3^n}>0 \:\forall n\in N$

$\sum_{n=1}^\infty nsin\dfrac{\pi}{3^n}\leq [sinx\leq x]\leq \sum_{n=1}^\infty \dfrac{n\pi}{3^n}\\  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{n\pi}{3^n}} =\dfrac{1}{3}<1$

Тогда $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n\pi}{3^n}$ сходится по признаку Коши.

Значит $\sum_{n=1}^\infty nsin\dfrac{\pi}{3^n}$ сходится по признаку сравнения, а т.к. ряд положительный, сходится абсолютно.