Question

Найти предел через второй замечательный предел:

$lim_{x \to 0} (3^x + x)^\frac{1}{x}$

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\Big(3^x+x\Big)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0}\Big(1+3^x+x-1\Big)^{\frac{1}{x}\cdot \frac{3^x+x-1}{3^x+x-1}}=e^\big{\lim_{x \to 0}\frac{3^x+x-1}{x}}=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{3^x-1}{x}\right)}=e\cdot e^\big{\lim_{x \to 0}\frac{3^x-1}{x}}=e\cdot e^{\ln 3}=3e$