Question

(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0
как решить это ДУ?

Answer 1

$(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0;$ Выразим $y'$:
$frac{dy}{dx}=- frac{3x-5y}{x+y}; y'=frac{5y-3x}{x+y};$ Делим числитель и знаменатель дроби на х. $y'= frac{5 frac{y}{x} -3}{1+ frac{y}{x}};$ 
Уравнение является однородным, выполняем  замену $frac{y}{x}=u;y'= frac{5 u-3}{1+ u};$ $frac{y}{x}=u;y=xu;y'=u'x+u;$ 
$u'x+u= frac{5 u-3}{1+ u};$
$u'x= frac{5 u-3}{1+ u}-u;$ 
$frac{du}{dx}x= frac{5 u-3-u-u^2}{1+ u};$
$frac{du}{dx}x= frac{4 u-3-u^2}{1+ u};$
Это уравнение с разделяющими переменными.
$frac{1+ u}{-u^2+4u-3}du= frac{1}{x}dx;$
$-frac{1+ u}{(u-1)(u-3)}du= frac{1}{x}dx;$  
Интегрируем $-intlimits {frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} , du = intlimits { frac{1}{x}} , dx$ Первый интеграл находим методом неопределенных коэффициентов
$frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}= frac{A}{u-1} + frac{B}{u-3}= frac{Au-3A+Bu-B}{(u-1)(u-3)}= frac{(A+B)u-3A-B}{(u-1)(u-3)};$
$left { {{A+B=1} atop {-3A-B=1}} right. Rightarrow left { {{A=-1} atop {B=2}} right.$
$frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}=-frac{1}{u-1} + frac{2}{u-3};$
$-intlimits {frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} , du= -intlimits {(frac{1}{u-1} + frac{2}{u-3})} , du=$
$-intlimits {frac{1}{u-1} } , du+intlimits {frac{2}{u-3}} , du=-ln|u-1|+2ln|u-3|;$
$intlimits { frac{1}{x}} , dx =ln|x|+lnC;$
$-ln|u-1|+2ln|u-3|=ln|x|+lnC;$
$lnfrac{|u-3|^2}{|u-1|}=ln|Cx|;$
$frac{|u-3|^2}{|u-1|}=|Cx|;$
$frac{|frac{y}{x}-3|^2}{|frac{y}{x}-1|}=|Cx|$
Это есть общий интеграл данного уравнения.
Вот как-то так.