Question

вычислить ___________________2*2010_________________________
                   1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+.....+1/1+2+3+...+2010

Answer 1

$frac{2*2010}{1+frac{1}{3}+frac{1}{6}+frac{1}{10}+frac{1}{15}....frac{1}{1+2+2+3+...2010}}=\ frac{4020}{1+frac{2}{2*3}+frac{2}{3*4}+frac{2}{4*5}+frac{2}{5*6}....frac{2}{2010*2011}}=$

Теперь  , сделаем замену n=2,  и вычислим нашу сумму реккурентно      
$1+ frac{n}{n(n+1)}+frac{n}{(n+1)(n+2)}+frac{n}{(n+2)(n+3)}...frac{n}{(n+2008)(n+2009)}$
теперь  почленно сложим  каждую сумму и получим такой реккурентный ряд 
$frac{n+2}{n+1}\ frac{n+4}{n+2}\ frac{n+6}{n+3}$
и очевидно что наша сумма будет равна 

$frac{n+2009*2}{n+2009}=frac{2+4018}{2011}=frac{4020}{2011}\ frac{4020}{frac{4020}{2011}}=2011$

Ответ 2011