Question

1. Известно, что а2019 +b2019 = P(a+b, ab) для некоторого многочлена P(x, y) с
целыми коэффициентами. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.

Answer 1

Сумма коэффициентов многочлена $f(x_1,...,x_n)$ равна $f(1,...,1)$.

$\left \{ {{a+b=1} \atop {ab=1}} \right. =>\left \{ {{a=1-b} \atop {b-b^2=1}} \right. \\ b^2-b+1=0=>\\ b=\dfrac{1\pm i \sqrt{3}}{2}=1\cdot (cos(\pm\dfrac{\pi}{3})+isin(\pm\dfrac{\pi}{3}))=e^{\dfrac{\pm i\pi}{3}}=>\\ a=\dfrac{1\mp i \sqrt{3}}{2}=1\cdot (cos(\mp\dfrac{\pi}{3})+isin(\mp\dfrac{\pi}{3}))=e^{\dfrac{\mp i\pi}{3}}$

Тогда $P(1,1)=(e^{\dfrac{ i\pi}{3}})^{2019}+(e^{\dfrac{- i\pi}{3}})^{2019}=e^{673 i\pi}+e^{-673 i\pi}=(-1)^{673}+(-1)^{-673}=-1+(-1)=-2$

А значит и искомая сумма равна $-2$