Question

Вычислить производную, №6

Answer 1

Во-первых, подставим x = 0, получим f(0) = 2f(0), откуда f(0) = 0.

Зафиксируем произвольный x. Тогда по индукции

$f\left(\dfrac x{2^n}\right)=\dfrac{f(x)}{2^n}$

Значит,

$\displaystyle f'(0)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{f\left(\dfrac x{2^n}\right)-f(0)}{\dfrac x{2^n}-0}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{f(x)}{x}$

и

$f(x)=cx,\quad c=f'(0)\in\mathbb R$