Запишите закон отрицания логического умножения для двух высказываний
Ответы
Ответ:
Определение 1. Суждением называется форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предмета, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.
Определение 2. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.
Например, «Москва – столица России», «число 2 больше 5» – высказывания. Первое высказывание является истинным, а второе – ложным.
Будем обозначать высказывания латинскими буквами:
Логическое значение высказывания «истина» обозначается цифрой «1», «ложь» – «0».
Предложения: «Который час?», «ответьте на вопрос», «добро пожаловать!» – не являются высказываниями.
Предложение «Была метель» также не является высказыванием, поскольку нет достаточной информации, чтобы установить истинно оно или ложно (где и когда?).
Определение 3. Формализацией высказываний называют операцию замены высказывания естественного языка формулой математического языка, включающего высказывательные переменные и символы тех логических операций, которые соответствуют структуре самого высказывания.
Определение 4. Если суждение об истинности высказывания можно вынести из самого высказывания, то такое высказывание называют простым. В противном случае мы имеем сложное (составное) высказывание.
Значение истинности составного высказывания определяется значениями истинности его компонент.
Из простых высказываний можно образовать новые составные высказывания с помощью союзов «и», «или», «либо», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», «неверно, что». Эти союзы называются логическими связками. Построение из данных высказываний нового составного высказывания называется логической операцией над высказываниями.
Основные логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (табл. 1).
Таблица 1
Логические операции
Название
Прочтение
Обозначение
Отрицание
Не; неверно, что
()
Конъюнкция
И; а
()
Дизъюнкция
Или
Импликация
Если … то
Эквивалентность
Тогда и только тогда, когда
(~)
Логическое значение сложного высказывания можно описать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности (верхняя строка содержит обозначения высказываний, последующие строки – логическое значение высказываний).
Пусть даны два произвольных высказывания и.
Определение 5. Отрицанием высказывания называется высказывание(«не», «неверно, что»), которое истинно, когдаложно, и ложно, когдаистинно.
Таблица истинности для отрицания:
0
1
1
0
Определение 6. Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний ,называется высказывание(«и»), которое истинно только в том случае, когдаиоба истинны.
Таблица истинности для конъюнкций:
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Определение 7. Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний ,называется высказывание(«или»), которое истинно, когда хотя бы одно из них истинно.
Таблица истинности для дизъюнкций:
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Определение 8. Импликацией двух высказываний , называется высказывание («если, то», «влечёт», «изследует», «имплицирует»), которое ложно тогда и только тогда, когдаистинно, аложно.
Таблица истинности для импликаций:
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Определение 9. Эквивалентностью высказываний ,называется высказывание(«эквивалентно», «тогда и только тогда, когда», «для того, чтобы, необходимо и достаточно, чтобы»), которое истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны или ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Для образования составных высказываний наряду с единичным использованием каждой основной связки можно пользоваться основными связками многократно, получая более сложные составные высказывания, – аналогично тому, как с помощью основных арифметических операций образуются сложные алгебраические выражения.
Например, составными будут высказывания: ;;.
Замечание 1. Скобки указывают порядок выполнения действий. Если скобок нет, то операции надо выполнять в следующем порядке: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Если отрицание относится ко всему высказыванию, например, , то оно выполняется последним. Если отрицание относится только к одному высказыванию, например,, тогда оно выполняется первым.
Каждое составное высказывание имеет свою таблицу истинности, которая может быть построена стандартным образом.
Определение 10. Формулой алгебры логики высказываний называется всякое простое высказывание, обозначаемое буквой, а также всякое составное высказывание, которое получается комбинированием простых высказываний с помощью конечного числа указанных выше основных операций (;;;;). Для любых формул можно построитьтаблицу истинности.
Определение 11. Таблицей истинности формулы называется сводная таблица всех значений входящих в нее высказываний и соответствующих значений самой формулы. Если формула содержит элементарных высказываний, то таблица содержитстрок.
Пример 1. Составьте таблицу истинности .
Решение
Составим таблицу истинности, последовательно выполняя логические операции, входящие в формулу: