Question

Решите, пожалуйста, кому не сложно. Готовлюсь в контрольной... Докажите равенство. Даю 100 баллов, решите корректно с нормальными объяснениями.

Answer 1

Хороший способ....................

Answer 2

$x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}};$

$x^3=20+14\sqrt{2}+20-14\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\right);$

$x^3=40+3\sqrt[3]{20^2-(14\sqrt{2})^2}\cdot x;\ x^3=40+3\sqrt[3]{8}\cdot x;\ x^3-6x-40=0;$

угадываем корень x=4 (впрочем, он нам дан в условии) и раскладываем левую часть в произведение:

$(x-4)(x^2+4x+10)=0;$

вторая скобка в ноль не обращается в силу отрицательности дискриминанта.

Ответ: x=4

Замечание 1. Вместо разложения на скобки можно было сослаться на монотонность левой части.

Замечание 2. Мы воспользовались формулой

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b).$