Question

Ромб разрезали на две равнобокие трапеции, периметры которых равны 6 и 9. Сделайте чертеж и найдите периметр ромба.

Answer 1

Ответ: 10

Объяснение:

Рассмотрим ромб, у которого острый угол достаточно большой (больше 60°) (иначе описанные ниже построения не получатся)

Выполним построение:

1. Отметим M -- середину отрезка AB

2. Отметим точку H на отрезке AM, она должна лежать ближе к точке M (иначе п. 4 не выполнится)

3. Проведём через точку Н прямую a ⊥ AB.

4. Отметим точку N -- пересечение прямой a и отрезка CD.

5. Построим точку E на стороне AB, при этом AH = HE

6. Аналогично строим точку F на стороне CD: DN = NF

7. Проводим EF.

8. AEFD и EBCF -- искомое деление на две равнобокие трапеции.

Докажем, что ромб был разделён на две равнобокие трапеции:

Итак, имеем четырёхугольник ADFE.

В нём AE || DF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба),

а AD ∩ EF (*см. ниже).

Следовательно, ADFE -- трапеция (по опр.).

Чтобы доказать, что трапеция равнобокая, используем следующую теорему:

Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна её основаниям, то трапеция равнобокая.

По построениям AH = HE, DN = NF, HN ⊥ AE  ⇒  ADFE -- равнобокая трапеция, то есть AD = EF.

Рассмотрим четырёхугольник EBCF:

EB || CF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба).

AD ∩ EF, AD || BC (ромб)  ⇒ BC ∩ EF

Следовательно, EBCF -- трапеция (по опр.).

Так как ABCD -- ромб, то AD = BC  ⇒  EF = BC  ⇒  EBCF -- равнобокая трапеция.

Построения обоснованы.

Решение:

Из доказательства выше было получено: AD = EF = BC.

Из формулы периметра ромба имеем:

$P_{ABCD}=4AD\quad \Rightarrow\quad AD=\dfrac{P_{ABCD}}{4}$

По условию:

$P_{AEFD}=9\\ P_{EFCB}=6$

Сложим оба периметра:

$P_{AEFD}+P_{EFCB}=AE+EF+FD+DA+EF+FC+BC+BE=\\ \\ =(AE+BE)+(FD+FC)+DA+BC+2EF=(AB+CD+DA+BC)+2EF=\\ \\=P_{ABCD}+2AD=P_{ABCD}+2\cdot \dfrac{P_{ABCD}}{4} =\dfrac{3}{2} P_{ABCD}$

С другой стороны:

$P_{AEFD}+P_{EFCB}=9+6=15$

Имеем:

$\dfrac{3}{2} P_{ABCD}=15\quad \Rightarrow\quad P_{ABCD}=\dfrac{2}{3}\cdot 15=10$

Ответ: 10

(*) Данный факт доказывается от противного.

Допустим, что AD || EF.

Тогда AE || DF, AD || EF  ⇒  ADFE -- параллелограмм  ⇒   AE = DF.

Прямая а -- средняя линия (по постр.), то есть, a || AD, тогда AD ⊥ CD  ⇒  ABCD -- квадрат.

Квадрат нельзя разделить на равнобокие трапеции. Одна из сторон квадрата должна быть боковой стороной будущей трапеции. А части двух прилежащих сторон --  её основаниями. Так как AD ⊥ CD, то трапеция будет прямоугольной. Но трапеция не может быть и прямоугольной, и равнобедренной (она превращается в прямоугольник).

Получаем противоречие. Значит AD ∩ EF.