Question

1. Даны точки А(1;-2;3), В(2;0;5), C(-1;3;4), D(-2;1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости ABC;
2) расстояние от точки D до плоскости ABC;
3) канонические уравнения прямой AB;
4) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC
​

Answer 1

$A(1,-2,3)\; ,\; \; B(2,0,5)\; ,\; \; C(-1,3,4)\; ,\; \; D(-2,1,-2)\\\\1)\; \; \overline {AB}=(1,2,2)\; \; ,\; \; \overline {AC}=(-2,5,1.)\; \\\\\vec{n}=[\overline {AB}\times \overline {AC}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&2\\-2&5&1\end{array}\right|=-8\vec{i}-5\vec{j}+9\vec{k}\\\\\\-8(x-1)-5(y+2)+9(z-3)=0\\\\-8x-5y+9x-29=0\\\\\underline {ABC:\; \; 8x+5y-9z+29=0}\\\\\\2)\; \; d=\frac{|\, Ax_0+By_0+Cz_0+D\, |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|\, -16+5+18+29\, |}{\sqrt{8^2+5^2+9^2}}=\frac{36}{\sqrt{170}}$

$3)\; \; AB\, :\; \; \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{2}\\\\\\4)\; \; l\perp ABC\; ,\; \; D(-2,1-2)\in l\; ,\; \; \vec{n}=(8,5,-9)=\vec{s}\\\\l\, :\; \; \frac{x+2}{8}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-9}$

P.S.  В 1 пункте специально не использовала уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, а сначала нашла нормальные вектор плоскости АВС, так как в 4 пункте потребуются координаты  нормального вектора плоскости АВС.