Question

Помогите с интегралами!!! Пожалуйста!! Ничего не понимаю( Объясните что и как. Пожалуйссстааа

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{3\, cos4x\, dx}{\sqrt{sin^24x+5}}=\Big [\; t=sin4x\; ,\; dt=4\, cos4x\, dx\; \Big ]=\frac{3}{4}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+5}}=\\\\=ln|\, t+\sqrt{t^2+5}\, |+C=ln|\, sin4x+\sqrt{sin^24x+5}\, |+C\\\\\\2)\; \; \int \frac{e^{2tgx-3}\, dx}{cos^2x}=\int e^{2tgx-3}\cdot \frac{dx}{cos^2x}=\Big [\; t=2tgx-3\; ,\; dt=\frac{2\, dx}{cos^2x}\; \Big ]=\\\\=\frac{1}{2}\int e^{t}\, dt=\frac{1}{2}\, e^{t}+C=\frac{1}{2}\, e^{2tgx-3}+C$

$3)\; \; \int \frac{1}{x^2}\cdot cos(5+\frac{1}{x})\, dx=\Big [\; t=5+\frac{1}{x}\; ,\; dt=-\frac{dx}{x^2}\; \Big ]=-\int cos\, t\, dt=\\\\=-sin\, t+C=-sin(5+\frac{1}{x})+C$

$P.S.\; \; \; \; \; \; dy=y'(x)\cdot dx\\\\(sinx)'=cosx\; \; \; ,\; \; \; (\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\; \; ,\; \; (tgx)'=\frac{1}{cos^2x}$