Question

Помогите решить( очень нужно №1 (1) и №3), остальные по желанию

Answer 1

$1)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{2n+5}{\sqrt{n\cdot 6^{n}}}\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim\limits _{n \to \infty}\Big (\frac{2n+7}{\sqrt{(n+1)\cdot 5^{n+1}}}\cdot \frac{\sqrt{n\cdot 5^{n}}}{2n+5}\Big )=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{(2n+7)\cdot \sqrt{n}\cdot \sqrt{5^{n}}}{\sqrt{n+1}\cdot \sqrt{5^{n}\cdot 5}\cdot (2n+5)}=\\\\=\frac{1}{\sqrt5}<1\; \; \; \Rightarrow \quad sxoditsya$

$3)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{8n^3+1}\\\\\int\limits^{\infty }_1\, \frac{x^2\, dx}{8x^3+1}=\lim\limits _{A \to \infty}\int\limits^{A}_1\, \frac{24x^2\, dx}{24(8x^3+1)}= \lim\limits _{A \to \infty }\Big (\frac{1}{24}\cdot ln|8x^3+1|\Big |_1^{A}\Big )=\\\\=\frac{1}{24} \lim\limits _{A \to \infty }\Big (ln|8A^3+1|-ln9\Big )=\infty \; \; \to \; \; rasxoditsya$