Исследовать функцию
y=4x^6+8x^3-4
Ответы
Дана функция y = 4x^6 + 8x³ - 4.
Таблица точек
x y
-2.0 188
-1.8 85.4
-1.6 30.3
-1.4 4.2
-1.2 -5.9
-1.0 -8
-0.8 -7
-0.6 -5.5
-0.4 -4.5
-0.2 -4.1
0 -4
0.2 -3.9
0.4 -3.5
0.6 -2.1
0.8 1.1
1.0 8
1.2 21.8
1.4 48.1
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R.
2. Функция f (x) = 4x^6 + 8x³ - 4 непрерывна на всей области определения.
Область значений функции приведена в пункте 6.
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в y=4x^6+8x³-4
у = 4*0^6 + 8*0³ - 4 = -4.
Результат: кривая пересекает ось Оу в точке (0; -4).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
4x^6 + 8x3 - 4 = 0, сократим на 4: x6 + 2x3 - 1 = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох.
Делаем замену x³ = t.
Получили: t² + 2t - 1 = 0.
D = 4 + 4*1 = 8. √D = √8 = 2√2.
Имеем 2 корня: t1 = (-2 - 2√2)/2 = -1 - √2.
t2 = (-2 + 2√2)/2 = -1 + √2.
Обратная замена: х = ∛t.
x1 = ∛(-1 - √2) ≈ -1,3415.
x2 = ∛(-1 + √2) ≈ 0,7454.
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = (4x^6 + 8x³ - 4) ' = 24 x5 + 24x² = 24x²(x³ - 1) = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
Из первого множителя имеем 1 корень: x = 0.
Приравняем нулю второй множитель:
x³ + 1 = 0, x³ = -1. Имеем 1 корень:x = -1.
Имеем 2 точки, в которых возможны экстремумы: x = 0, и x = -1.
6. Интервалы возрастания и убывания функции.
Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0), и (-1; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 1
y' = -672 0 5,25 0 48.
Как видим, в точке х = -1 имеется минимум функции.
В точке х = 0 производная рана нулю, но нет перемены знака Это не экстремум.
Возрастает на промежутках: (-1; 0) и (0; +∞).
Убывает на промежутке: (-∞; -1.
Отсюда определилась область значений функции:
- так как минимум функции в точке х = -1 равен у = -8,
то E(f) = [-8; +∞).
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''(4x^6 + 8x^3 - 4) = 120x^4 + 48x = 24x(5x^3+2) = 0.
Первое решение: х = 0.
Множитель в скобках имеет 1 решение:
5x^3+2= 0, x = -√(2/5) ≈ -0,7368.
х1 = 0, х2 = -0,7368.
Результат: точки: х1 = 0, х2 = -0,7368.
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Имеем 2 интервала выпуклости, вогнутости:
x ϵ (-∞; -√(2/5)) и (-√(2/5); +∞).
Находим знаки второй производной на полученных промежутках.
-√(2/5)
x = -1 -0,73681 -0,5 0 1
y'' = 72 0 -16,5 0 168
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
Выпуклая на промежутке: ((-√(2/5)); 0).
Вогнутая на промежутках: (-∞;(-√(2/5))) U (0; +∞)..
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: так как область определения функции - вся числовая ось, то нет вертикальной асимптоты.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim 4x^6 + 8x³ - 4, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim 4x^6 + 8x³ - 4, x->-∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при .
Находим коэффициент k:
k=lim┬(x→∞)4x^6 + 8x³ - 4/x = ∞.
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
8. Чётность и нечётность функции:
Проверим функцию - чётна или нечётна с помощью соотношений:
f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=(-4x)^6 + 8(-x)^3 – 4 = 4x^6 - (8x)^3 – 4 ≠ f(x).
3начит, функция является ни чётной, ни нечётной.
