Question

Найдите сумму коэффициентов a и b кубического многочлена х^3+ax^2+bx+3 , имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трехчлена x^2+2x-1 .

Answer 1

Представим данное выражение в виде разложения на множители

$x^3+ax^2+bx+3=(x-x_1)(x^2+2x-1)$

где $x_1$ — неизвестный корень. Тогда

$x^3+ax^2+bx+3=x^3+2x^2-x-x_1x^2-2xx_1+x_1=\\ \\ \\ =x^3+x^2(2-x_1)+x(-1-2x_1)+x_1$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}2-x_1=a\\&\text{}-1-2x_1=b\\&\text{}x_1=3\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a=-1\\&\text{}b=-7\\&\text{}x_1=3\end{cases}$

Сумма коэффициентов a и b: -1 + (-7) = -8

Ответ: -8.