Question

Пусть PM,PN
и PK
– длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки Р
внутри треугольника. Найдите наибольшее возможное целое значение произведения PM×PN×PK
, если стороны треугольника равны 9,12
и 15
. Пусть PM,PN
и PK
– длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки Р
внутри треугольника. Найдите наибольшее возможное целое значение произведения PM×PN×PK
, если стороны треугольника равны 9,12
и 15

Answer 1

Ответ:

PM⋅PN⋅PK  = 27.

Пошаговое объяснение:

Точка, одновременно наиболее удалённая от сторон треугольника, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.  

Поэтому, точка Р - это центр вписанной окружности с радиусом r, равным длине перпендикуляра к сторонам треугольника.  

Данный треугольник египетский (соотношение сторон a:b:c = 9:12:15 = 3:4:5), а значит прямоугольный.

Тогда r = (a + b - c)/2 = (9 + 12 - 15)/2 = 6/2 = 3.

Значит произведение высот: 3³=27