Question

В треугольнике АВС, заданном координатами вершин: А (7, 9), В (9, -6),
С (8, 10), найти уравнение и длину прямой, проходящей через точку С
параллельно стороне АВ.

Answer 1

находим уравнение стороны AB:

A(7;9); B(9;-6)

уравнение прямой на плоскости через две точки:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Подставим координаты точек:

$\frac{x-7}{9-7} =\frac{y-9}{-6-9}$

приведем уравнение к виду y=kx+b:

$\frac{x-7}{2} =\frac{y-9}{-15}\\-15x+105=2y-18\\2y=-15x+123\\y=-\frac{15}{2} +\frac{123}{2}$

угловой коэффицент данной прямой:

k=$-\frac{15}{2}$

Если у прямых равны угловые коэффициенты, то они параллельны.

Составляем уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-15/2 и проходящую через точку C(8;10)

$y=kx+b\\10=8*(-\frac{15}{2})+b\\b=10+60=70\\y=-\frac{15}{2}x+70\\2y+15x-140=0$

Находим уравнение стороны BC:

$\frac{x-9}{8-9} =\frac{y+6}{10+6} \\16x-144=-y-6\\y=-16x+138\\y+16x-138=0$

Находим точку пересечения прямых y+16x-138=0 и 2y+15x-140=0:

$\left \{ {{y+16x-138=0} \atop {2y+15x-140=0}} \right. \\\left \{ {{-2y-32x+276=0} \atop {2y+15x-140=0}} \right. \\-2y-32x+276+2y+15x-140=0\\136-17x=0\\ 17x=136\\x=8\\y+16*8-138=0\\y-10=0\\y=10$

Прямая 2y+15x-140=0 пересекается с BC в точке C и параллельна стороне AB=>  эта прямая касается треугольника ABC в точке C, и ее длина в этом треугольнике равна нулю.

Ответ:

1) 2y+15x-140=0

2) L=0