Question

Здравствуйте, это линейное дифференциальное уравнение 1го порядка, высшая матика.
y'+y/x=sinx , y(Пи)=1/Пи

Answer 1

ЛНДУ 1-го порядка.

$\displaystyle y'+\frac{y}{x}=sinx\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u+\frac{1}{x}uv=sinx\\u'v+u(v'+\frac{1}{x}v)=sinx\\\frac{dv}{dx}+\frac{v}{x}=0\\\int\frac{dv}{v}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-ln|x|\\v=\frac{1}{x}\\\frac{du}{xdx}=sinx\\\int du=\int xsinxdx\\u=-xcosx+sinx+C\\y=uv=-cosx+\frac{sinx}{x}+\frac{C}{x}\\y(\pi})=-cos\pi+\frac{sin\pi}{\pi}+\frac{C}{\pi}=\frac{1}{\pi}\\1+\frac{C}{\pi}=\frac{1}{\pi}\\C=1-\pi\\y=-cosx+\frac{sinx}{x}+\frac{1-\pi}{x}$