Question

Даю 100 баллов. Помогите пожалуйста. Срочно!

Доказать неравенства для действительных чисел x, y, z у которого сумма равна 2.



$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z} +\frac{9}{4} \leq \frac{1}{x^{2} } +\frac{1}{y^{2} } +\frac{1}{z^{2} }$

Answer 1

1/x + 1/y + 1/z + 9/4 ≤ 1/x² + 1/y² + 1/z²

Вначале прибавим к обеим частям неравенства 27/4 = 3*(9/4). Получим 1/x + 1/y + 1/z + 9/4 + 3*(9/4) ≤ 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4. Отсюда

1/x + 1/y + 1/z + 9 ≤ 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4. Рассмотрим квадрат разности (1/x - 3/2)². Он неотрицателен, т. е. (1/x - 3/2)² ≥ 0. Распишем его 1/x² - 2*(3/2x) + 9/4  ≥ 0. Значит 1/x² + 9/4 ≥ 3/x. Аналогично рассматривая

квадраты разностей  (1/y - 3/2)² и  (1/z - 3/2)² получим, что 1/y² + 9/4 ≥ 3/y и 1/z² + 9/4 ≥ 3/z. Складывая их, получаем, что 1/x² + 9/4 + 1/y² + 9/4 + 1/z² + 9/4 ≥ 3/x + 3/y + 3/z. Подставим сначала этот результат в неравенство выше, имеем 1/x + 1/y + 1/z + 9 ≤ 3/x + 3/y + 3/z. Отсюда 9 ≤ 3/x + 3/y + 3/z - (1/x + 1/y + 1/z) = 2(1/x + 1/y + 1/z). Итак получили, что 9 ≤ 2(1/x + 1/y + 1/z). Покажем его справедливость. Согласно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (x + y + z)/3 ≥ 3/(1/x + 1/y + 1/z) или 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x + y + z). Т. к. по условию сумма x + y + z = 2, то 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/2. Тогда 2(1/x + 1/y + 1/z) ≥ 9. Что и требовалось.