Question

cos7x+cosx=2cos3x(sin2x-1)

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n \in Z$

$(-1)^n\frac{arcsin(\frac{\sqrt{17}-1}{4})}{2}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$

Объяснение:

По формуле суммы косинусов преобразуем левую часть уравнения.

$cos(7x)+cos(x)=2cos((7x+x)/2)cos((7x-x)/2)=2cos(4x)cos(3x)$

Тогда

$2cos(4x)cos(3x)=2cos(3x)(sin(2x)-1),\\cos(3x)(sin(2x)-1-cos(4x))=0$

Получаем совокупность двух уравнений:

$1)cos(3x)=0,\\2)sin(2x)-1-cos(4x)=0$

Решим первое:

$cos(3x)=0,\\3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\\x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n \in Z$

Решим второе:

$sin(2x)-1-cos(4x)=0\\sin(2x)-1-(1-2sin^2(2x))=0\\2sin^2(2x)+sin(2x)-2=0$

Пусть $t=sin(2x)$. Тогда

$2t^2+t-2=0\\D=1^2-4*2*(-2)=17\\t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2*2}\\t_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\\t_2=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$

Проверим для каждого t, имеет ли решения уравнение $t=sin(2x)$. Для этого проверим, попадают ли они в границы множества значения синуса, то есть [-1;1].

1) Сравним $\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$ и -1. Так как оба отрицательные, то можно убрать минус и сравнить $\frac{1+\sqrt{17}}{4}$ с 1.

$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$ и 1

$1+\sqrt{17}$ и 4

$\sqrt{17}$ и 3

$17 > 9$.

Значит, $\frac{-1-\sqrt{17}}{4} < -1$ (меняем символ сравнения на противоположный, так как меняли ранее знак) - t не подходит.

2) Сравним $\frac{\sqrt{17}-1}{4}$ и 1.

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$ и 1

$\sqrt{17}-1$ и 4

$\sqrt{17}$ и 5

$17<25$

Значит, $\frac{\sqrt{17}-1}{4}<1$.

Очевидно, что $\sqrt{17}-1>0$, поэтому можно не сравнивать с -1. Данное t подходит.

Решим уравнение $sin(2x)=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$:

$2x=(-1)^narcsin(\frac{\sqrt{17}-1}{4})+\pi k,\\x=(-1)^n\frac{arcsin(\frac{\sqrt{17}-1}{4})}{2}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$