Question

x2+2019=y2 найдите все целые решения уравнения

Answer 1

Запишем уравнение в виде $(x-y)(x+y)=-2019$

2019 = (-1) * 2019 =  (-3) * 673 = 1 * (-2019) = 673 * (-3)

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих восьми систем:

1) $\left \{ {{x-y=2019} \atop {x+y=-1}} \right.$

Сложив два уравнения: 2x = 2018 откуда x = 1009; y = -1010

2) $\left \{ {{x-y=-2019} \atop {x+y=1}} \right.$

Аналогично, сложим уравнения: 2x = -2018 откуда x = -1009; y = 1010

3) $\left \{ {{x-y=-3} \atop {x+y=673}} \right.$

2x = 670 откуда x = 335 и y = 673 - 335 = 338

4) $\left \{ {{x-y=-673} \atop {x+y=3}} \right.$

2x = -670 ⇒ x = -335 и y = 3 + 335 = 338

$5) \left \{ {{x-y=-1} \atop {x+y=2019}} \right.$

2x = 2018 откуда x = 1009; y = 1 + y = 1010

$6) \left \{ {{x-y=3} \atop {x+y=-673}} \right.$

2x = -670; x = -335 то y = -673 +335 = -338

$7) \left \{ {{x-y=673} \atop {x+y=-3}} \right.$

2x = 670 откуда x=335, тогда y = -3 - 335 = -338

$8)\left \{ {{x-y=1} \atop {x+y=-2019}} \right.$

2x = -2018 ⇒ x = -1009, y = -2019 + 1009 = -1010

Ответ: (±1009; ±1010), (-1009; 1010), (±335; ±338).