y=(x-2)^2 e^x
Пожалуйста помогите найти экстремумы функции
Ответы
Точки экстремума - точки минимумов и максимумов функции. Чтобы их узнать, нам нужно сначала знать как меняется функция. Производная показывает как меняется функция.
y' = ((x-2)^2 * e^x)'
По формуле нахождения производной при умножении:
(ab)' = a'b + ab'
y' = ((x-2)^2)' * e^x + (x - 2)^2 * (e^x)'
Как найти производную от (x - 2)^2? Это табличное значение:
(x^2)' = 2x
Но у нас не x^2. У нас усложнённый аргумент, он равен (x - 2) поэтому, по правилу нахождения производных для функций с усложнённым аргументом, мы домножаем на производную аргумента.
((x - 2^2))' = 2(x - 2) * (x - 2)'
По формуле для нахождения производный при вычитании:
(a - b)' = a' - b'
2(x - 2) * (x - 2)' = 2(x - 2) * ((x)' - (2)')
По формулам:
x' = 1
C' = 0, где C - константа, то есть, постоянное число.
2(x - 2) * ((x)' - (2)') = 2(x - 2) * (1 - 0) = 2(x - 2) * 1 = 2(x - 2)
Теперь разберёмся со второй производной, так же по табличному значению:
(e^x)' = e^x
Запишем полученное выражение
y' = 2(x - 2) * e^x + (x - 2)^2 * e^x
Вынесем общий множитель за скобку
y' = e^x * (2(x - 2) + (x - 2)^2)
Раскроем квадрат по формуле квадрата разности:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
y' = e^x * (2(x - 2) + (x^2 - 4x + 4))
y' = e^x * (2x - 4 + x^2 - 4x + 4)
y' = e^x * (x^2 - 4x + 2x + 4 - 4)
y' = e^x * (x^2 - 2x)
Мы нашли производную функции. Теперь про экстремумы: они находятся на оси x, то есть, когда y = 0 (У ПРОИЗВОДНОЙ!!!)
e^x * (x^2 - 2x) = 0
e^x = 0
Такое невозможно, потому что любое число отличное от нуля в любой степени никогда не даст ноль
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0
x - 2 = 0
x = 2
Нас не просят определить точку максимума или минимума, поэтому на этом мы остановимся. Если тебя спросят найти найти ЗНАЧЕНИЕ функции в точках минимума или максимума, то просто подставь эти точки в ИСХОДНУЮ функцию.
Ответ: 0 и 2