Question

Для чисел 2, 5 и 9 составьте квадратное уравнение. Сколько таких уравнений можно составить? Объясните ответ.

Answer 1

Квадратное уравнение может иметь один или два корня. Значит, из трёх чисел можно составить шесть приведённых (см. об этом ниже) уравнений: с корнями (2), (5), (9), (2; 5), (2; 9), (5; 9).

Составим уравнения с одним корнем — это будут полные квадраты:

$(x-2)^2=x^2-4x+4=0\\(x-5)^2=x^2-10x+25=0\\(x-9)^2=x^2-18x+81=0$

Далее составим уравнения с двумя корнями. Используем теорему Виета: коэффициенты приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ вычисляются по формулам $p=-(x_1+x_2), \; q=x_1x_2$.

Первое уравнение (2; 5):

$p=-(2+5)=-7\\q=2 \cdot 5=10\\x^2-7x+10=0$

Второе уравнение (2; 9):

$p=-(2+9)=-11\\q= 2 \cdot 9=18\\x^2-11x+18=0$

Третье уравнение (5; 9):

$p=-(5+9)=-14\\q=5 \cdot 9 =45\\x^2-14x+45=0$

Ответ: шёсть приведённых уравнений:

$x^2-4x+4=0\\x^2-10x+25=0\\x^2-18x+81=0\\\\x^2-7x+10=0\\x^2-11x+18=0\\x^2-14x+45=0$

А теперь рассмотрим неприведённые уравнения — в которых коэффициент при $x^2$ не равен единице (и нулю, конечно, поскольку тогда уравнение перестаёт быть квадратным).. Поскольку любое квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ можно разложить на множители:

$a(x-x_1)(x-x_2)=0$

и в этом разложении при любом $a \neq 0$ оно будет иметь те же корни, то таких уравнений можно составить бесконечное количество. Например, если взять уравнение $x^2-4x+4=0$ и умножить его на любое число (кроме нуля): $ax^2-4ax+4a=0$ — то его корни останутся прежними.

Окончательный ответ: с данными корнями можно создать бесконечное количество неприведённых уравнений.