Question

Даны точки А(10;4),В(1;10),С(-3;4),Д(6;-2),М(10;10)
Докажите что АВСД-прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его диагоналей (точка P)

Answer 1

Объяснение:

$A(10,4)\; ,\; \; B(1,10)\; ,\; \; C(-3,4)\; ,\; \; D(6,-2)\\\\AB=\sqrt{(1-10)^2+(10-4)^2}=\sqrt{117}\\\\CD=\sqrt{(6+3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{117}\\\\BC=\sqrt{(-3-1)^2+(4-10)^2}=\sqrt{52}$

$AD=\sqrt{(6-10)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{52}\\\\AB=CD\; ,\; \; BC=AD\; \; \; \Rightarrow$  

ABCD - параллелограмм

Найдём длины диагоналей параллелограмма. Если диагонали равны, то параллелограмм будет прямоугольником.

$AC=\sqrt{(-3-10)^2+(4-4)^2}=\sqrt{13^2}=13\\\\BD=\sqrt{(6-1)^2+(-2-10)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$

$AC=BD$  , значит параллелограмм явл. прямоугольником.

Найдём середину диагоналей. В параллелограмме (прямоугольнике) диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Находим середину отрезка АС:

$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{10-3}{2}=3,5\\\\y_{P}= \frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{4+4}{2}=4\\\\P(3,5\, ;\, 4)$

Можно было находить и середину BD, получили бы тот же результат.