Question

Вообщем, нужно доказать что выражение 5x^2+5y^2+5z^2+6xy-8xz-8yz является положительным, при условии, что x^2+y^2+z^2 не обращается в нуль. Вопрос на 30 баллов срочно

Answer 1

Способов решить (а именно разложить в сумму квадратов ) много. Показываю один из вариантов.

Используя формулу квадрата суммы трёх членов:

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

раскроем такое выражение:

(2x+2y-2z)^2=4x^2+4y^2+4z^2+8xy-8xz-8yz

Таким образом:

5x^2+5y^2+5z^2+6xy-8xz-8yz=

(2x+2y-2z)^2+x^2+y^2+z^2-2xy=

(2x+2y-2z)^2+(x-y)^2+z^2 .

Сумма квадратов трёх чисел число неотрицательное.

Но может быть равно нулю , когда каждое из этих чисел равно 0.

То есть когда: z=0; x=y; 2x+2y=0; x=-y

То есть: x=y=z=0

Что эквивалентно условию : x^2+y^2+z^2=0

ЧТД