Question

$ctg(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi*sin^{2}(x)+\pi}{4sin^{6}(x)+1})-tg(\frac{\pi}{4sin^{6}(x)+1})=0$
Как это решать? ПЖ СРОЧНО!!!! 100 БАЛЛОВ!!!!

Answer 1

Данное уравнение равносильно уравнению

$tg(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1})=tg(\frac{\pi}{4sin^{6}x+1})\\\\\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1}=\frac{\pi}{4sin^{6}x+1}+\pi\:n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}+\frac{1}{4sin^{6}x+1}=\frac{1}{4sin^{6}x+1}+n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=n$

n ∈ Z

Рассмотрим более пристально выражение  $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}$,  которое можно записать в следующем виде:

$\frac{1}{2sin^{4}x+\frac{1}{2sin^{2}x}}=\frac{1}{2sin^{4}x-2sin^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\frac{1}{-sin^{2}x*cos^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\\\\=\frac{1}{(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})-\frac{sin^{2}2x}{2}}$

Так как   $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}\geq 2$  (сумма двух положительных взаимно обратных величин),   $\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{1}{2}$,  то   $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{3}{2}$, а значит,  $0\leq\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\leq\frac{2}{3}$

Однако выражение   $\frac{1}{3}+\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}$  должно быть целым, что возможно только при   $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=\frac{2}{3}$.   Это равенство, в свою очередь, выполняется, если и только если

$2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}=\frac{3}{2}$

$\left\{{{2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}=2}\atop{sin^{2}2x=1}}\right.\:\:\:<=>\:\:\:\left\{{{sin^{2}x=\frac{1}{2}}\atop{cos^{2}x=\frac{1}{2}}}\right.\:\:\:<=>\:\:\:x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}$, k ∈ Z

Ответ:  $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}$, k ∈ Z