Question

Вычислите
$A=tg^{2}36^o*tg^{2}72^o$
ПЖ ОЧ СРОЧНО!!!!!!!

Answer 1

$\\A=tg^{2}36^o*tg^{2}72^o$

Вначале понизим степени тангенсов, переходя от них к косинусам двойных углов:

$A=\frac{(1-cos72^o)}{(1+cos72^o)}*\frac{(1-cos144^o)}{(1+cos144^o)}$

Далее в числителе и знаменателе раскроем скобки:

$A=\frac{1-cos72^o-cos144^o+cos72^o*cos144^o}{1+cos72^o+cos144^o+cos72^o*cos144^o}=\frac{1-(cos72^o+cos144^o)+cos72^o*cos144^o}{1+(cos72^o+cos144^o)+cos72^o*cos144^o}$

К произведению $cos72^o*cos144^o$  применим теперь трюк "гармошка", а к сумме  $cos72^o+cos144^o$ -  трюк "домино":

$1)\:\:\:cos72^o*cos144^o=\frac{sin72^o*cos72^o*cos144^o}{sin72^o}=\frac{sin(2^2*72^o)}{2^2*sin72^o}=\frac{sin288^o}{4sin72^o}=\\\\=\frac{sin(360^o-72^o)}{4sin72^o}=-\frac{sin72^o}{4sin72^o}=-\frac{1}{4}$

$\\2)\:\:\:cos72^o+cos144^o=\frac{cos72^o+cos144^o}{sin(\frac{144^o-72^o}{2})}*sin(\frac{144^o-72^o}{2})=\\\\=\frac{sin36^o*cos72^o+sin36^o*cos144^o}{sin36^o}=\frac{-sin36^o+sin108^o-sin108^o+sin180^o}{2sin36^o}=-\frac{1}{2}$

Таким образом,  $A=\frac{1-(-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=\frac{(\frac{5}{4})}{(\frac{1}{4})}=5$

Ответ: 5