Question

Вариант 27
В заданиях 1-5 вычислить интеграты, применив в 1-4 - метод
непосредственного интегрирования или метод подстановки, В5 – метод
интегрирования по частям.

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^0_{-3}\frac{dx}{\sqrt{25+3x}}=\frac{1}{3}\int\limits^0_{-3}\frac{d(25+3x)}{\sqrt{25+3x}}=\frac{2}{3}\sqrt{25+3x}|^0_{-3}=\\=\frac{2}{3}(5-4)=\frac{2}{3}$

$\displaystyle \int\limits^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{\displaystyle 0}tgxdx=\int\limits^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{\displaystyle 0}\frac{sinx}{cosx}dx=-\int\limits^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{\displaystyle 0}\frac{d(cosx)}{cosx}=-ln|cosx||^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{\displaystyle 0}=\\=-ln|cos\frac{\pi}{3}|=-ln\frac{1}{2}=ln2$

$\displaystyle\int\limits_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle \pi}cos^2xsinxdx=-\int\limits_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle \pi}cos^2xd(cosx)=-\frac{cos^3x}{3}|_{\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle \pi}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle \int\limits^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}\sqrt{4-x}dx=-\int\limits^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}\sqrt{4-x}d(4-x)=-\frac{2\sqrt{(4-x)^3}}{3}|\limits^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}=-\frac{4\sqrt2}{3}+\frac{16}{3}=\\=\frac{4}{3}(4-\sqrt2})$

$\displaystyle \int\limits^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0} arctgxdx=xarctgx|^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}-\int^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}\frac{xdx}{1+x^2}=xarctgx|^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}-\frac{1}{2}\int\limits^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\\=xarctgx|^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}-\frac{1}{2}ln|1+x^2||^{\displaystyle 1}_{\displaystyle 0}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}ln2\\\\u=arctgx;du=\frac{dx}{1+x^2}\\dv=dx;v=x$