Question

используя метод вспомогательного аргумента покажите что уравнение cosx-sinx=1 можно привести к виду sin(p/4-x)=корень из двух/2
Запишите общее решение уравнения cosx-sinx=1

Answer 1

Ответ:

$x_1=2\pi n, n \in Z\\x_2=\frac{3\pi}{2}+2\pi k, k \in Z$

Объяснение:

Преобразуем левую часть уравнения:

$cos(x)-sin(x)=\sqrt{1^2+1^2}*(\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}cos(x)-\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}sin(x))=\sqrt{2}(sin(\frac{\pi}{4})cos(x)-cos(\frac{\pi}{4})sin(x))=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-x)$

Отсюда получим уравнение:

$\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-x)=1\\sin(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем общее решение уравнения.

$sin(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\sin(x-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\x-\frac{\pi}{4}=(-1)^narcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\pi n\\x=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$

Или же можно записать так:

$x_1=2\pi n, n \in Z\\x_2=\frac{3\pi}{2}+2\pi k, k \in Z$