Question

Прошу объяснить простым и доступным методом, что такое, как использовать и самое главное как находить этот наболевший ОДЗ.
Объяснит (разжевать) можно на 4ёх уравнениях для наглядности, фото прикрепил.
Буду благодарен!

Answer 1

У логарифмической функции аргумент должен быть больше 0, а основание тоже должно быть строго положительным и не равным единице.

Это мы знаем из определения (!!!) логарифмической функции.

       $y=log_{a}x\; ,\; \; x>0\; ,\; \; a>0\; ,\; a\ne 1\; .$

$1)\; \; logx+log(x+1)=log6\; \; ,\quad ODZ:\; \left \{ {{x>0} \atop {x+1>0}} \right.\; \left \{ {{x>0} \atop {x>-1}} \right.\; \; \to \; \; \underline {x>0}\\\\log\Big (x\cdot (x+1)\Big )=log6\\\\x(x+1)=6\; \; \to \; \; x^2+x-6=0\; \; \to \; \; x_1=-3\; ,\; x_2=2\; \; (teor.\; Vieta)\\\\x=-3\notin ODZ\\\\Otvet:\; \; x=2\; .$

$2)\; log_3(x-4)+(log_3(x+2)=log_37\; \; ,\qquad ODZ:\; \left \{ {{x-4>0} \atop {x+2>0}} \right.\; \left \{ {{x>4} \atop {x>-2}} \right.\; \to \; \underline {x>4}\\\log_3\Big ((x-4)(x+2)\Big )=log_37\\\\(x-4)(x+2)=7\\\\x^2-2x-8=7\\\\x^2-2x-15=0\\\\x_1=-3\; ,\; x_2=5\; \; (teorema\; Vieta)\\\\x=-3\notin ODZ\\\\Otvet:\; \; x=5\; .$

$3)\; \; logx+log(2x-3)=\frac{1}{2}\, logx^2\; \; ,\; \; \; ODZ:\; \left \{ {{2x-3>0} \atop {x>0\; ,\; x^2>0}} \right.\; \left \{ {{x>1,5} \atop {x>0}} \right.\; \to \; \; \underline {x>0}\\\\\star \; \; \frac{1}{2}\, logx^2=\frac{1}{2}\cdot 2\, log|x|=log|x|=logx\; ,\; t.k.\; x>0\; \; \star \\\\log\Big (x\cdot (2x-3)\Big )=logx\\\\2x^2-3x=x\\\\2x^2-4x=0\; ,\; \; 2x(x-2)=0\; \; \to \; \; \; x_1=0\; ,\; x_2=2\\\\x=0\notin ODZ\\\\Otvet:\; \; x=2\; .$

$4)\; \; log(x+8)-log(x-6)=log4,5\; \; ,\; \; ODZ:\; \left \{ {{x+8>0} \atop {x-6>0}} \right.\; \left \{ {{x>-8} \atop {x>6}} \right.\; \to \; \underline {x>6}\\\\log\frac{x+8}{x-6}=log4,5\\\\\frac{x+8}{x-6}=\frac{9}{2}\; \; \to \; \; 2x+16=9x-54\; \; \to \; \; \; 7x=70\; \; ,\; \; x=7\in ODZ\\\\Otvet:\; \; x=7\; .$