Question

найдите наибольшее значение функции y=(x-8)^2(x-9)+1 на отрезке [-4 ;8 ;5]

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

Дана функция y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5].

Находим производную от функции:

y' = ((x-8)²·(x-9)+1)' = ((x-8)²)'·(x-9)+(x-8)²·(x-9)'+0 = 2·(x-8)·(x-9)+(x-8)² =

= 2·x²-34·x+144+x²-16·x+64 = 3·x²-50·x+208.

Определим стационарные точки:

y' = 0 ⇔ 3·x²-50·x+208=0. Тогда

D = (-50)²-4·3·208 = 2500-2496 = 4 = 2²,

x₁=(50-2)/(2·3)=48/6=8∈[-4; 8,5],

x₂=(50+2)/(2·3)=52/6=8 4/6=8 2/3 ∉[-4; 8,5].

Вычислим значения функции при x = -4, x = 8 и x = 8,5:

y(-4) = (-4-8)²·(-4-9)+1 = 144·(-13)+1 = -1872+1 = -1871;

y(8) = (8-8)²·(8-9)+1 = 0·(-1)+1 = 0+1 = 1;

y(8,5) = (8,5-8)²·(8,5-9)+1 = 0,25·(-0,5)+1 = -0,125+1 = 0,875.

Наибольшее значение функции y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5] :

y(8) = 1.

Answer 2

Ответ:

1

Объяснение:

$y=(x-8)^{2} (x-9)+1$

Найдем производную функции, применяя правило нахождения производной произведения:

$(uv)'=u'v+uv'$

$y'=((x-8)^{2} )'(x-9)+(x-8)^{2} (x-9)'=2(x-8)(x-9)+(x-8)^{2} =\\\\(x-8)(2(x-9)+x-8)=(x-8)(2x-18+x-8)=(x-8)(3x-26).$

Найдем критические точки, решив уравнение: $y'=0$

$(x-8)(3x-26)=0;\\ \left [\begin{array}{l} x - 8 = 0, \\ 3x-26= 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x = 8, \\ x = 8\dfrac{2}{3} \end{array} \right.$

Отрезку $[-4;8,5]$ принадлежит точка x=8.

Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке  x=8.

$y(-4)=(-4-8)^{2} (-4-9)+1=(-12) ^{2} *(-13)+1=144*(-13)+1=\\\\=-1872+1=-1871;$

$y(8)=(8-8)^{2} (8-9)+1=0+1=1;$

$y(8,5)=(8,5-8)^{2} (8,5-9)+1=(0,5)^{2} *(-0,5)+1=0,25*(-0,5)+1=\\\\=-0,125+1=0,875$

Выберем из полученных значений наибольшее.

Тогда 1 - наибольшее значение данной функции на отрезке [-4;8,5]