Question

Какое наименьшее значение может принимать сумма целых чисел x и y, удовлетворяющих равенству 2xy+3x−5y−2019=0?

Answer 1

Ответ:

x+y= -2011

Пошаговое объяснение:

2xy+3x-5y-2019=0;

выразим y через x:

y(2x-5)=2019-3x;

y=(2019-3x)/(2x-5);

рассмотрим функцию y=f(x). Данная функция представляет собой гиперболу с точкой разрыва (второго рода) при х=2,5:

2x-5≠0; x≠5/2;

т.е. область определения ф-ии: х∈ (-∞;2,5)∪(2,5;+∞)

Очевидно, что функция имеет вертикальную асимптоту х=5/2.

Функция имеет и гоизонтальную асимптоту. Запишем и найдем предел:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2019-3x}{2x-5} = -\frac{3}{2}$  (по правилу Лопиталя).

Горизонтальная асимптота имеет вид:

у=-3/2

Итак: наша функция имеет вид гиперболы

с вертикальной асимптотой х=5/2,

и горизонтальной асимптотой у=-3/2.

Наша гипербола- убывающая функция на всей области определения. Все эти свойства нам пригодится чуть позже.

Будем подставлять в уравнение функции целые значения абсциссы (х), и вычислять значения функции (у).

Возьмем сперва "нижнюю" ветвь гиперболы (III - IV квадрант)

y=(2019-3x)/(2x-5)  х∈(-∞;2,5)

по условию задачи нас интересуют только целые значения х и у:

x=2;  y=(2019-3*2)/(2*2-5)=2013/(-1)=-2013;  

x+y=2-2013=-2011

x=1;  y=(2019-3*1)/(2*1-5)=2016/(-3)=-672;

x+y=1-672=-671; -671>-2011;

x=0;  y= 2019/(-5)≈-403; y∉ Z

х=-1;  y=(2019-3*(-1)/(2*(-1)-5))=2022/(-7)≈-289;  y∉ Z

Значения у будут и далее монотонно возрастать при x→ -∞.

Но как поведет себя сумма (x+y) при x→ -∞ не очень понятно. Она может  как убывать, так и возрастать на некоторых интервалах. Но, т.к. при x→ -∞ y → -3/2 снизу (пригодилась горизонтальная асимптота!) значение у выше -3/2 не "поднимется", то нас будет интересовать наибольшее целое отрицательное значение функции вблизи этой самой асимптоты. Это (ближайшее к горизонтальной асимптоте целое) число -2. Вычислим, при каком х функция достигнет "последнего" целого перед асимптотой:

у = -2

(2019-3x)/(2x-5)=-2;

(2019-3x)=-2(2x-5);

2019-3x=-4x+10;      

2019-3x+4x-10=0;

x=-2009; y=-2; (x+y)=-2009+(-2)=-2011.

Следовательно и в этом случае для "нижней" части гиперболы минимальное искомое значение (x+y)=-2011.

Для "верхней" части гиперболы:

y=(2019-3x)/(2x-5);   х∈(2,5;+∞)

х=3;  у=(2019-3*3)/(2*3-5)=2010/1=2000;

х+у=3+2000=2003;

х=4;  у=(2019-3*4)/(2*4-5)=2007/3=669;  

х+у=4+669=673.

Функция убывает на промeжутке х∈ (2,5;+∞), и начиная с некоторого значении х принимает отрицательные значения, но т.к. "верхняя" ветвь гиперболы асимптотически приближается к прямой у=-3/2, то ближайшее целое отрицательное значение функции в промежутке у ∈ (0; -3/2) - это число -1. Но при достижении функцией значения у=-1, значения х будет однозначно положительное! "Верхняя" ветвь гиперболы вся расположена в I и IV квадранте декартовой плоскости, где все х>0. Значит можно смело утверждать, что  в этом случае (х+у)>0 и (х+у)>>-2011.

Т.о. искомы решения:

x=2  y=-2013  x+y=2-2013=-2011

x=-2009; y=-2; (x+y)=-2009+(-2)=-2011.