Question

5.Даны векторы a={2,1,-2} b={0,-1,2} найти : 1. (a, b) 2.|a| 3.(a+2b, a-b) 4.np(a)-(a+b) 5.a^-0 - орт а.

6.Даны векторы a=m-n; b=m+3n, где |m|=3; |n|=1; (m, N) = Пи/3 найти 1) (a, b) 2) |a| 3) (a, ^b) 4) np(b) - (a+b) ​

Answer 1

$5)\; \; \vec{a}=(2,1,-2)\; ,\; \vec{b}=(0,-1,2)\\\\\star \; \; (\vec{a},\vec{b})=2\cdot 0-1\cdot 1-2\cdot 2=-5\\\\\star \; \; |\vec{a}|=\sqrt{4+1+4}=3\\\\\star \; \; \vec{a}+2\vec{b}=(2,-1,2)\; ,\; \; \vec{a}-\vec{b}=(2,2,-4)\\\\(\vec{a}+2\vec{b}\, ,\, \vec{a}-\vec{b})=2\cdot 2-1\cdot 2-2\cdot 4=-6\\\\\star \; \; \vec{a}+\vec{b}=(2,0,0)\\\\proek_{\vec{a}}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{(\vec{a}\, ,\, \vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}|}=\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}$

$6)\; \; \vec{a}=\vec{m}-\vec{n}\; ,\; \; \vec{b}=\vec{m}+3\vec{n}\; ,\; \; |\vec{m}|=3\; ,\; |\vec{n}|=1\; ,\; \angle (\vec{m},\vec{n})=\frac{\pi}{3}\; \\\\\star \; \; (\vec{a},\vec{b})=(\vec{m}-\vec{n},\vec{m}+3\vec{n})=\vec{m}^2+3(\vec{m},\vec{n})-(\vec{n},\vec{m})-3\vec{n}^2=\\\\=|\vec{m}|^2-2(\vec{m},\vec{n})-3|\vec{n}|^2=9-2\cdot |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos\frac{\pi}{3}-3\cdot 1=\\\\=6-2\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=6-3=3\\\\\star \; \; |\vec{a}|=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}\; ,$

$(\vec{a},\vec{a})=(\vec{m}-\vec{n},\vec{m}-\vec{n})=|\vec{m}|^2-2(\vec{m},\vec{n})+|\vec{n}|^2=\\\\=9-2\cdot 3\cdot 1\cdot cos\frac{\pi}{3}+1=10-3=7\\\\|\vec{a}|=\sqrt7$

$\star \; \; cos\angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{3}{\sqrt7\cdot 3\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt{21}}\\\\(\vec{b},\vec{b})=(\vec{m}+3\vec{n},\vec{m}+3\vec{n})=|\vec{m}|^2+6(\vec{m},\vec{n})+9|\vec{n}|^2=\\\\=9+6\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+9\cdot 1=18+9=27\; \; \Rightarrow \; \; \; |\vec{b}|=\sqrt{27}=3\sqrt3$

$\star \; \; \vec{a}+\vec{b}=2\vec{m}+2\vec{n}\\\\(\vec{b},\vec{a}+\vec{b})=(\vec{m}+3\vec{n},2\vec{m}+2\vec{n})=2(\vec{m},\vec{m})+8(\vec{m},\vec{n})+6(\vec{n},\vec{n})=\\\\=2|\vec{m}|^2+8\cdot |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos\frac{\pi }{3}+6|\vec{n}|^2=2\cdot 9+8\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+6\cdot 1=36\\\\|\vec{b}|^2=(\vec{b},\vec{b})=(\vec{m}+3\vec{n},\vec{m}+3\vec{n})=|\vec{m}|^2+6|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos\frac{\pi}{3}+9|\vec{n}|^2=\\\\=9+6\cdot 3\cdot \frac{1}{2}+9=27\; ,\; |\vec{b}|=3\sqrt3$

$proek_{\vec{b}}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{(\vec{b},\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{b}|}=\frac{36}{3\sqrt3}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$